بحث عن المتطابقات المثلثية وإثباتها

بحث عن المتطابقات المثلثية وإثباتها يفيد الطلاب في التعرف على طريقة حلها وأيضًا تطبيقاتها الحياتية.. وتنقسم إلى  متطابقات الجمع والطرح ومتطابقات الزوايا المتكاملة.

حيث تُعتبر المتطابقات المثلثية أحد فروع علم الرياضيات المهمة، والتي تختص بدراسة العلاقة بين زوايا المثلث وأضلاعه، كما يوجد الكثير من العلاقات بين فرع حساب المثلثات وفروع الرياضة الأخرى مثل: علم التفاضل والتكامل والأعداد المركبة، واللوغاريتمات، وسوف نعرض بحث عن المتطابقات المثلثية وإثباتها من خلال الموضوع التالي المقدم لكم من موقع زيادة.

بحث عن المتطابقات المثلثية وإثباتها

يتضمن أي بحث مجموعة من الأساسيات التي يجب أن تتوافر في الأعداد، ويتكون البحث من غلاف به بعض البيانات مثل: الاسم، عنوان موضوع البحث، الجهة المقدم إليها البحث.

بعد ذلك يوجد الفهرس الذي يتضمن العناوين الفرعية الموجودة في البحث مع أرقام الصفحات الموجود بها تلك العناوين، لتسهيل عملية البحث على القارئ، إذا أراد الوصول إلى شيء معين في البحث.

كما يوجد في بداية البحث مقدمة تمهيدية للموضوع الذي يتناوله البحث، ثم بعد ذلك يتم مناقشة جميع العناوين الفرعية التي تم ذكرها في الفهرس حتي ينتهي البحث، بعد ذلك يوجد خاتمة بها أهم ما تم ذكره في البحث.

سوف نعرض بحث عن المتطابقات المثلثية وإثباتها بالتفصيل من خلال ما يلي:

الفهرس

• مقدمة بحث عن المتطابقات المثلثية وإثباتها.
• المتطابقات المثلثية.
• المتطابقات المثلثية الأساسية.
• أنواع المتطابقات المثلثية.
• نظرية فيثاغورث.
• تطبيقات حياتية على المتطابقات المثلثية.
• بعض الاستخدامات الأخرى للمتطابقات المثلثية.
• خاتمة بحث عن المتطابقات المثلثية وإثباتها.

يمكنك أيضًا الاضطلاع على: بحث عن المعادلات والمتباينات وأنواعها

المتطابقات المثلثية

تُعتبر المتطابقات المثلثية من أهم فروع الرياضة، وهي عبارة عن مجموعة من الدوال المثلثية، وهي ذات أهمية كبيرة حيث يتم استخدمها في حل المعادلات الرياضية وبالأخص معكوس الدالة.

كما تدرس المتطابقات المثلثية “المثلث” وهو عبارة عن 3 أضلاع و3 زوايا مجموعهم قياسات هذه 180 درجة، كما يتم الاستعانة بها في فروع الرياضة المختلفة وهم: التفاضل والتكامل، اللوغاريتمات، الأعداد المركبة.

يمكنك أيضًا الاضطلاع على: عالم رياضيات مؤسس علم الجبر من 9 حروف لعبة كلمة السر

المتطابقات المثلثية الأساسية

من خلال النقاط التالية سوف نتعرف على المتطابقات المثلثية الأساسية:

• جيب التمام، الرمز “جتا”.

قانون (جتا) في المثلث القائم الزاوية = الضلع المجاور للزاوية س ÷ وتر المثلث.

• الجيب، الرمز “جا”.

قانون  (جا) في المثلث القائم الزاوية = الضلع المقابل للزاوية س ÷ وتر المثلث.

• الظل، الرمز “ظا”.

قانون (ظا) في المثلث القائم الزاوية = الضلع القابل للزاوية س ÷ الضلع المجاور لنفس الزاوية (جا س / جتا س).

• قاطع التمام، الرمز “قتا”.

قانون (قتا) في المثلث القائم الزاوية = وتر المثلث ÷ الضلع المقابل للزاوية س.

(س = 1 ÷ جا س).

• ظل التمام، الرمز “ظتا”.

قانون (ظتا) في المثلث القائم الزاوية = الضلع المجاور للزاوية س ÷ الضلع المقابل للزاوية س.

(س = 1 ÷ ظا س = جتا س ÷ جا س).

• القاطع، الرمز “قا”.

قانون (قا) في المثلث القائم الزاوية = وتر المثلث + الضلع المجاور للزاوية س.

(س = 1÷ جتا س).

يمكنك أيضًا الاضطلاع على: الفرق بين الرقم والعدد في الرياضيات وما هي الأرقام والأعداد

أنواع المتطابقات المثلثية

يوجد أنواع للمتطابقات المثلثية، وسوف نذكر هذه الأنواع من خلال النقاط التالية:

متطابقات ناتج القسمة

• ظا س = جا س ÷ جتا س.
• قتا س = جتا س ÷ جا س.

متطابقات الضرب والجمع

• جا س جا ص =2/1[ جتا (س -ص) – جتا (س + ص)].
• جتا ص جتا ص = 2/1[ جتا (س-ص) + جتا (س + ص)].
• جا س جتا ص = 2/1[ جتا (س + ص) + جتا (س-ص)].
• جتا س جا ص = 2/1[ جتا (س +ص) – جتا (س-ص)].

متطابقات الجمع والطرح

• جا (س ± ص) = جا س جتا ص ± جتا س جا ص.
• جتا (س + ص) = جتا س جا ص – جا س جا ص.
• جتا (س – ص) = جتا س جتا ص + جا س جا ص.
• ظا (س + ص) = ظا س + ظا س / (1 – (ظا س ظا ص).
• ظا (س – ص) = ظا س – ظا س / (1 + (ظا س ظا ص).

متطابقات مقلوب العدد

• قتا س = 1 ÷ جا س.
• قا س = 1 ÷ جتا س.
• ظتا س = 1 ÷ ظا س.

متطابقات فيثاغورث

• جتا 2 س + جا 2 س = 1.
• قا 2 س – ظا 2 س = 1.
• قتا 2 س – ظتا 2 س = 1.

متطابقات الزوايا المتكاملة

• جا س = جا (180 – س).
• جتا س = – جتا (180 – س).
• ظا س = – ظا (180 – س).

متطابقات الزوايا المتنامة

• جا (90 – س) = جتا س.
• جتا (90 – س) = جا س.
• ظا (90 – س) = ظتا س.
• ظتا (90 – س) = ظا س.
• قا (90 – س) = قتا س.
• قتا (90 – س) = قا س.

متطابقات عكس الزاوية

• جا (- س) = – جا س.
• جتا (- س) = جتا س.
• ظا (- س) = – ظا س.

متطابقات نصف الزاوية

• جا ( س/2) = ± (1 – جتا س) / 2√.
• جتا ( س/2) = ± (1 + جتا س) / 2√.
• ظا ( س/2) = ± (1 – جتا س) / (1 + جتا س) √ = جاس / (1+جتا س) = 1 – جتا س / جا س = قتا س – ظتا س.
• ظتا ( س/2) = ± (1 + جتا س) / (1 – جتا س)√ = جاس / (1 – جتا س) = 1 + جتا س / جا س = قتا س + ظتا س.

متطابقات ضعف الزاوية

• جا 2 س = 2 جا س جتا س.
• – جتا 2 س = جتا² س – جا² س.
• – ظا 2 س = 2 ظا س / (1 – ظا² س).
• – ظتا 2 س = (ظتا² س -1) / 2 ظتا س.

نظرية فيثاغورس

هي من أشهر النظريات في علم حساب المثلثات، ومن خلال هذه النظرية يمكن حساب طول الوتر المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوية، ويتم التعبير عن النظرية رياضياً كالآتي:

مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول في المثلث + مربع طول الضلع الثاني في المثلث.

إذا قمنا بعكس نظرية فيثاغورث فيعتبر صحيحًا أيضًا، لأنه في حالة المثلث القائم يكون المربع الضلع الأكبر يساوي مجموع الضلعين الآخرين في المثلث، كما أن قياس الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع  قياس الزاويتين الداخلتين عدا الزاوية المجاورة للزاوية الخارجية.

يمكنك أيضًا الاضطلاع على: حل كتاب الرياضيات ثالث متوسط ورابط تحميل الكتاب

تطبيقات حياتية على المتطابقات المثلثية

بعيداً عن استخدام المتطابقات المثلثية في فروع الرياضية تستخدم أيضاً في العديد من المجالات ومنها:

علم الفلك

يُعتبر هذا العلم من أول العلوم التي بدأت في استخدام حساب المثلثات قبل القرن ال 16، وذلك بهدف حساب مواقع النجوم والكواكب، ومعرفة المسافة التي تفصل بين الكواكب وبين الأرض والشمس والقمر، كما تم استخدامه في حساب نصف قطر الأرض.

الهندسة المعمارية

يستخدم علم الهندسة المعمارية حساب المثلثات  في بناء المنازل من أجل قياس الأعمدة وزوايا الجدران قبل بناء المنزل، حتى لا ينهار المنزل من تعرض الجدران للتشوه.

كما يتم الاستعانة به من قبل المهندسين في بناء أبراج الدعم من خلال تحديد ارتفاعها ومعرفة طول الكابلات وتحديد قوة الجسر.

علم الاحياء البحرية

يستخدم في هذا العلم لمعرفة مدى عمق ضوء الشمس الذي تحتاج إليه الطحالب البحرية للقيام بعملية البناء الضوئي، كما يستعين به علماء الأحياء البحرية في فهم سلوكيات الحيوانات البحرية الكبيرة ومعرفة حجمها مثل: الحيتان.

التجارة

يستخدم حساب المثلثات في قطع الزوايا لمعرفة قياسها بالإضافة إلى تحديد الخطوط المجاورة.

قياس ارتفاعات المباني

يستخدم علم حساب المثلثات في تحديد ارتفاع الجبال والمباني.

علم الجريمة

يمكن من خلال علم حساب المثلثات تحديد زوايا ومسارات القذائف التي تم إطلاقها في مسرح الجريمة، كما يتم الاستعانة به لمعرفة أسباب حدوث التصادم تقديريًا بالنسبة لحوادث السيارات.

الملاحة

يتم الاستعانة به في هذا المجال لتحديد أتجاه وضع البوصلة والانتقال بين الاتجاهات المختلفة لتحديد المواقع، كما يستخدم في رؤية الأفق وحساب المسافات.

الطيران

يتم الاستعانة بحساب المثلثات في هذا المجال لتحديد أتجاه الرياح وسرعتها، وذلك بعد تحديد سرعة كلاً من الطائرة والرياح، كما يمكن من خلال هذا العلم معرفة جانب المثلث الثالث الذي ستسير فيه الطائرة.

الصناعات التحويلية

يستخدم علم حساب المثلثات في هذا المجال لتحديد أحجام الأجزاء الميكانيكية وعرفة زواياها، حيث تستخدم في الأدوات والآلات التي تقوم بتصنيع جميع الأشياء مثل: السيارات، وتقوم شركات السيارات باستخدام هذا العلم بتحديد أحجام جميع أجزاء السيارات بشكل سليم خلال عملية التصنيع والتحقق من أن جميع الأجزاء تعمل معًا.

يمكنك أيضًا الاضطلاع على: بحث عن علماء الرياضيات والنتائج المترتبة على علم الرياضيات

استخدامات المتطابقات المثلثية

هناك بعض الاستخدامات  للمتطابقات المثلثية، وسوف نذكرها من خلال التالي:

• الصوتيات.
• إنشاء الخرائط.
• البصريات.
• علم الزلازل.
• وصف الضوء وموجات الصوت عبر الدوال المثلثية مثل: جا، جتا.
• دراسة ترتيبات الذرة في الصلب البلوري.
• معرفات مد المحيطات وارتفاع أمواجها.
• الإلكترونيات.
• علم التفاضل والتكامل.
• نظرية الأعداد.
• الإحصاء.
• التصوير الطبي.
• أنظمة الأقمار الصناعية.
• رسومات الحاسوب.

يمكنك أيضًا الاضطلاع على: بحث عن كرة الطائرة وقوانينها وعدد اللاعبين ومراحل تطورها

خاتمة بحث عن المتطابقات المثلثية وإثباتها

من خلال ما سبق قد استنتاجنا أن المتطابقات المثلثية إنها أحد أهم فروع الرياضة وهي عبارة عن مجموعة من الدوال الأساسية، كما استنتجنا أنواع المتطابقات المثلثية ومعرفة القوانين الخاصة بكل نوع، ونظرية فيثاغورث التي من خلالها حساب الوتر المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم الزوايا، واستنتجنا أن عكس نظرية فيثاغورث صحيح أيضًا، ومعرفة التطبيقات عن المتطابقات المثلثية التي تستخدم في الحياة.

خلاصة الموضوع في 7 نقاط

بالاستناد إلى ما ذكر في الموضوع السابق نجد أن:

1. إن المتطابقات المثلثية تدرس المثلث المكون من 3 أضلاع و 3 زوايا مجموعهم 180 درجة.
2. يتم الاستعانة بالمتطابقات المثلثية في العديد من فروع الرياضة مثل: التفاضل والتكامل.
3. المتطابقات المثلثية الأساسية: الظل، القاطع، قاطع التمام، الجيب، جيب التمام، ظل التمام.
4. أنواع المتطابقات مثل: متطابقات ناتج القسمة، متطابقات الضرب والجمع.
5. نظرية فيثاغورث من أشهر النظريات الموجودة في علم حساب المثلثات.
6. نظرية فيثاغورث تكون مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول في المثلث + مربع طول الضلع الثاني في المثلث.
7. يتم الاستعانة بحساب المثلثات في مجال الطيران لتحديد أتجاه الرياح وسرعتها.