تحليل مجموع مكعبين وقانون الفرق بين المكعبين

تحرير: آلاء في 12 مارس 2023

تحليل مجموع مكعبين يتم تعريف مجموع المكعبين بأنه كثير الحدود والذي يكون على صورة أ³+ب³، حيث يظهر على شكل حدين ويكون الفاصل بينهما هي إشارة الجمع، ويكون كل من الحدين مرفوع للقوى الثالثة، ويجدر الإشارة هنا إلى كلا الحدين يجب أن يكون لهما نفس الإشارة الموجبة، وذلك بعكس الفرق بين مكعبين.

تحليل مجموع مكعبين

المكعب هو أشهر الأشكال الهندسية والذي يتكون من أكثر من وجه، ويبلغ عدد أوجه المكعب ستة أوجه، ويتشابه المكعب كثيرًا مع المربع.
حيث أن حجم المكعب يساوي (ل³) وتعرف هنا (ل) بإنها تعبير عن طول أحد أضلاع المكعب.

قانون الفرق بين مكعبين

يعتبر قانون الفرق بين المكعبين من أشهر القوانين الرياضية والتي تستخدم في الكثير من المسائل الحسابية والهندسية، وهناك قانون للفرق بين المكعبين مختلف عن القانون المتعارف عليه، وهو يستخدم في الحالة الخاصة والتي تكون في حالات عمليات الضرب كثيرة الحدود.
وتكون الصيغة المعبرة عن هذه الحالة والتي ترمز بالتعبير عن حدين المكعبين والتي تفصل بينهم علامة السالب أو ما تعرف بعلامة الطرح، وهو كالتالي: (س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²).
ويعتبر هذا القانون من أهم القوانين في الرياضيات وأكثرها استخداما أيضًا وهذا يرجع نتيجة استخدامه في حل الكثير من المسائل الحسابية المتعددة والمختلفة.
كما يمكننا أن نقوم بتحليل الفرق بين مكعبين كما قمنا بشرحه في القانون السابق ونصنفهم إلى جزئيين، ليكون الجزء الأول يساوي الجذر التكعيبي للحد الأول وليكن على سبيل المثال بالرمز (س).
حيث يتم طرح الحد التكعيبي الأول (س) من الجذر التكعيبي للحد الثاني (ص).
أما بالنسبة إلى الجزء الثاني من تعريف القانون التكعيبي فيتم فيه تحليل الجزء الأول الذي يساوي مربع الحد الأول (س) والذي يتم إضافتة الحد الأول ليكون مضروب في الحد الثاني.
ثم يتم إضافة مربع الحد الثاني بجمعه معهم وهو الحد (ص).

للمزيد من الإفادة قم بالإطلاع على تعريف خطوط الطول ودوائر العرض وأهمية الاعتماد عليهما في الحسابات الجغرافية: تعريف خطوط الطول ودوائر العرض وأهمية الاعتماد عليهما في الحسابات الجغرافية

تحليل الفرق بين مكعبين

لكي يمكننا أن نقوم بالتحليل الصحيح للفرق بين مكعبين، يجب علينا أن نقوم بتحقيق كتابة المقدار بالشكل الصحيح والسليم له والذي يجب أن يكون على صورة الصيغة العامة (س³- ص³).
وبعد ذلك يتم تحليل الفرق بين المكعبين والتي تتم عبر بعض الخطوات الصحيحة من خلال القيام بفتح قوسين، ويتم ضرب المقدار المتواجد بين القوسين في بعضهم وهو يكون على الشكل التالي: () × ().
حيث نكتب في القوس الأول إشارة طرح سالب ونكتب في القوس الثاني إشارتين جمع أي موجب.
ونقوم بكتابة الحد الأول في القوس الأول منفصلًا، ويجب أن يكون بدون إشارة التكعيب قبل إشارة الطرح، لكي يصبح بنفس هذا الشكل (س- ) × ( + + ).
كما نقوم أيضًا بكتابة الحد الثاني بون تكعيب وذلك بعد إشارة الطرح في القوس الثاني ليصبح بنفس هذا الشكل (س-ص) × ( + + ) وبهذا الشكل نكون شرحنا لكم الشق الأول من تحليل قانون الفرق بين مكعبين.
أما بالنسبة إلى الشق الثاني من تحليل قانون الفرق بين مكعبين والذي يتم عبر الخطوات التالية: القيام بتربيع الحد الأول ليكون (س²) ونقوم بكتابة مربع الحد الأول (س²) وذلك ليكون قبل إشارة الجمع الأولي في القوس الثاني، لتصبح بهذا الشكل: (س- ص) × (س²+ + ).
نقوم بضرب الحد الأول في الحد الثاني (س × ص)، ثم نقوم بكتابة حاصل الضرب بين إشارتي الجمع الموجودين في القوس الثاني، ليصبح شكل المعادلة بالشكل التالي:(س-ص) × (س² + (س × ص) + ).
ووصولًا إلى آخر الخطوات المذكورة نقوم بوضع مربع الحد الثاني (ص²)، وذلك بعد إشارة الجمع بالحد الثاني، ليصبح بهذا الشكل النهائي (س-ص) × ( س² + (س × ص) + ص²).
ومن خلال هذا الشكل النهائي نستطيع أن نحصل على التحليل الخاص بقانون الخاص بالفرق بين المكعبين ويكون تحليله بهذا الشكل الموضح: (س³- ص³) = (س-ص) × (س² +(س × ص)+ص²).
كما يمكننا أن نقوم بتعبير قانون الفرق بين مكعبين من خلال التعبير اللفظي وهو كالتالي: مكعب الحد الأول مع مكعب الحد الثاني يساوي ( الحد الأول مع الحد الثاني ) بالضرف في (الحد الأول تربيع + الحد الأول × الحد الثاني + الحد الثاني تربيع).

يرشح لك موقع زيادة قراءة معايير علمية النظريات العلمية وتصنيفاتها ومراحلها وأهم النظريات العلمية: معايير علمية النظريات العلمية وتصنيفاتها ومراحلها وأهم النظريات العلمية

أمثلة محلولة عن الفرق بين مكعبين

من خلال التعرف على الفرق بين مكعبين نستطيع أن نتعرف على مجموعة من المسائل الرياضية وحلها لكي نستطيع تطبيق قانون الفرق بين مكعبين بشكل عملي.
المثال الأول: وهو بأن نقوم بتحليل المقدار التالي إلى عوامله وهو (64- 216ص³).
حل المثال الأول: حيث نلاحظ أن الحد الأول وهو (64) عبارة عن مكعب كامل أي أنه يساوي (³4)، ويكون الحد الثاني أيضًا وهو 216ص³ هو مكعب كامل أنه من الممكن أن نعبر عنه (6ص³) – 216ص³= (4)³ – 6ص³.
حيث نقوم بتحليل الآتي: (4)³- 6ص³= (4-6 ص)×((4)²+(4×6 ص)+ (6 ص)²).
ليعطينا في النهاية الحل النهائي (4)³- 6ص³= (4-6 ص)×((16)+(24 ص)+ (36ص²)).
المثال الثاني: حلل المقدار س³ -125؟
حل المثال الثاني: س³ – 125= (س-5) (س² +5س+25).
المثال الثالث: حلل 40 س3-5 ص³ ؟
حل المثال الثالث: 40 س3-5ص³ = 5(8 س3- ص³)= 5 ((2 س-ص) (4 س² -2 س ص+ ص²)).

نظرة عامة حول تحليل مجموع مكعبين

يعتبر الفرق بين مربعين وتحليه هو إحدى الصيغ الخاصة بالمعادلة التربيعية أو ما يعرف بالمعادات الرياضية ذات الدرجة الثانية.
حيث يعرف تحليل مجموع مكعبين عند حدين للمربعين يكون هناك حد مطروح من الحد الثاني، حيث يكون الفرق بينهم مطروح في مجموع الحدين معًا.
حيث يجب أن يتم مراعة الترتيب في الحدود أو في حاصل ضرب الجذر التربيعي للحد الثاني من المعادلة الرياضية حيث تكون الصورة العامة للفرق بين مربعين هي مثل الشكل التالي (س²- ص²) حيث تكون (س²) هي الحد الأول والتي يجب أن تظل مربعًا كاملًا.
أما بالنسبة إلى (ص²) وهو أيضًا الحد الثاني من المعادلة والتي يجب أن تكون أيضًا مربعًا كاملًا.
ويجب أن تكون بينهم إشارة الطرح أو ما يعرف بالسالب لنتعرف على الفرق بينهم وهذا الشكل تمثل لنا الفرق بين مربعين أو مكعبين.

يمكنك الآن التعرف على كيفية حساب المعدل المتوسط والطريقة الرياضية المثالية لإحتساب المعدل التراكمي: كيفية حساب المعدل المتوسط والطريقة الرياضية المثالية لإحتساب المعدل التراكمي

كيفية تحليل الفرق بين مربعين

عند تحليل بين مربعين للحصول عوامل المقدار يجب أولًا أن يتم المقدار المكتوب في صورة عامة تتمثل في (س²- ص²)، والذي يؤكد الفرق بين المربعين والذي يتم عن طريق التعبير الجبري والذي يحتوي على حدين فقط.
حيث يكون الحدين عبارة عن مربعين كاملين، ويتم دراسة استخراج عامل مشترك بينهما إذا كان العامل المشترك بينهم لم يكونوا مربعين كاملين.
كما أن أسس جمع كل المتغيرات الموجودة يجب أن تكون زوجية، كما يجب أن تكون إشارة أحد الحدين سالبة وإشارة أحد الحدين الآخرين تكون موجبة.

لقد قمنا في هذا المقال بالتحدث عن تحليل مجموع مكعبين، وتعرفنا على قانون الفرق بين مكعبين، وتحليل الفرق بين مكعبين، وقدمنا أمثلة محلولة عن الفرق بين مكعبين، وعرضنا نظرة عامة حول تحليل مجموع مكعبين، وتعرفنا على كيفية تحليل الفرق بين مربعين.